負の二項分布の定義と期待値・分散およびその証明
負の二項分布の定義
確率関数
\begin{eqnarray}
P(X=k) &=& \binom{k+r-1}{r-1}p^r(1-p)^k \\
&=& \binom{-r}{k}
\end{eqnarray}
ちなみに、\(\binom{k+r-1}{r-1}\)は二項係数で、\( \binom{k+r-1}{r-1} = {}_{k+r-1} \mathrm{C} _{r-1} \)です。
定義
確率変数\(X\)の確率質量関数が、\begin{eqnarray*}
P(X=k)= \binom{k+r-1}{r-1}p^r(1-p)^k \qquad (k=0,1,2,…)
\end{eqnarray*}で与えられるとき、確率変数\(X\)は\( NB(r,p) \)に従う。
幾何分布を拡張して、\(r\)回成功するまで試行を行ったときの失敗回数\(X\)が\(X=k\)となる確率が、上のような確率関数で表される確率分布です。
パラメータ\(r,p\)の負の二項分布を\( NB(r,p) \)と表します。
また、確率変数\(X\)が\( NB(r,p) \)に従うことを、\(X \sim NB(r,p) \)と書きます。
幾何分布の期待値・分散
期待値・分散
\(X \sim NB(r,p)\)のとき
\(\qquad E[X]= \frac{r(1-p)}{p}\)
\(\quad Var[X]= \frac{r(1-p)}{p^2}\)
証明
期待値の証明
\begin{eqnarray*}
E[X] &=& \sum^{\infty}_{k=0}{kP(X=k)} \\
&=& \sum^{\infty}_{k=1}{k \binom{-r}{k} p^r (-(1-p))^k} \\
&=& \sum^{\infty}_{k=1}{(-r) \binom{-r-1}{k-1} p^r (p-1)^k} \\
&=& r(1-p)p^r \sum^{\infty}_{k=1}{\binom{-r-1}{k-1} (p-1)^{k-1}} \\
&=& r(1-p)p^r (1+p-1)^{-r-1} \\
&=& \frac{r(1-p)}{p}
\end{eqnarray*}[証明終わり]