特性関数の定義や性質とその証明、主な分布の特性関数などまとめ

確率変数\(X\)の分布を\(P_X\)、\(F_X\)を\(X\)の分布関数とするとき、
\begin{eqnarray*}
\varphi_{X}(t) &=&E[ e^{itX}] = \int ^{\infty }_{-\infty } e^{itX} dP_{X} = \int ^{\infty }_{-\infty } e^{itX} dF_{X}(x) \\
&=& \begin{cases} \sum_{x}e^{itx}f(x) & {\small 離散型} \\
\int ^{\infty }_{-\infty }e^{itx}f(x) dx & {\small 連続型} \end{cases} \\
&=& \begin{cases} \sum_{x}\cos (tx) f\left( x\right) +i \sum_{x}\sin (tx) f(x) & {\small 離散型} \\
\int ^{\infty }_{-\infty } \cos (tx) f(x) dx+i \int ^{\infty }_{-\infty } \sin (tx) f(x) dx & {\small 連続型} \end{cases}
\end{eqnarray*}このような関数を\(X\)の特性関数という。

\begin{split}
&(1) \quad &\varphi _{X}(0) =1 \\
&(2) \quad &| \varphi _{X}(t) | \leq 1 \\
&(3) \quad &\varphi _{X}(t)は一様連続である \\
&(4) \quad &\varphi_{cX+d} (t) =e^{itd} \varphi_{X} (ct) \quad (c,dは定数)
\end{split}

\(X \sim B(n,p)\)のとき、$$\varphi_X (t) = \{ 1+p(e^{it} -1) \}^n$$

\(X \sim p(\lambda)\)のとき、$$\varphi_X (t) = exp \{ \lambda (e^{it} -1) \}$$

\(X \sim U(0,1)\)のとき、$$\varphi_X (t) = \frac{e^{it}-1}{it} $$

\(X \sim N(\mu,\sigma^2)\)のとき、$$\varphi_X (t) = exp(it\mu – \frac{1}{2} \sigma^2 t^2) $$